Для того чтобы показать, что F(x) является первообразной для f(x), нужно убедиться, что производная функции F(x) равна функции f(x).

Сначала найдем производную функции F(x):
F'(x) = (e^2x)' + (x^3)' - (cosx)'
F'(x) = 2e^2x + 3x^2 + sinx

Теперь сравним полученную производную с функцией f(x):
f(x) = 2e^2x + 3x^2 + sinx

Таким образом, мы можем утверждать, что F(x) = e^2x + x^3 - cosx является первообразной для функции f(x) = 2e^2x + 3x^2 + sinx на всей числовой прямой.