Для нахождения размеров цилиндрического бака с наименьшим количеством материала, нужно минимизировать сумму площадей боковой поверхности и дна бака, так как это и есть площадь материала, которое потребуется для его изготовления.

Общая площадь поверхности цилиндра (S) равна:
S = 2πrh + πr^2,

где r - радиус основания цилиндра, h - его высота.

Объём цилиндра (V) задан и равен 13,824π, то есть:
V = πr^2h = 13,824π.

Теперь выразим высоту h через радиус r из уравнения для объема V:
h = 13,824 / r.

Подставим это выражение в формулу для площади поверхности S:
S = 2πr(13,824 / r) + πr^2 = 27,648 + πr^2.

Чтобы минимизировать S, нужно взять производную от S по r и приравнять к нулю:
dS/dr = 0 + 2πr = 0,
r = 0.

Таким образом, чтобы использовать наименьшее количество материала на изготовление бака, его радиус должен быть равен 0. Однако такое значеное не имеет физического смысла, поэтому размеры бака с наименьшим количеством материала не могут быть определены.