В треугольнике ABC, где задано AC = 18, угол A = 105° и угол C = 45°, мы можем найти длину стороны AB, используя закон синусов.

Сначала найдем угол B:
[
B = 180° - A - C = 180° - 105° - 45° = 30°
]

Теперь по закону синусов:
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
]
где:

Мы знаем, что ( b = AC = 18 ), и нам необходимо найти ( c = AB ).

Теперь подставим известные значения в закон синусов:
[
\frac{AB}{\sin 105°} = \frac{18}{\sin 30°}
]

Значения синусов:
[
\sin 30° = \frac{1}{2}, \quad \sin 105° = \sin(180° - 75°) = \sin 75°
]

Теперь используем известное значение для ( \sin 75° ):
[
\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
]

Теперь подставляем это значение в закон синусов:
[
\frac{AB}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{18}{\frac{1}{2}}
]
[
\frac{AB}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = 36
]

Умножаем обе части уравнения на (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}):
[
AB = 36 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 9(\sqrt{6} + \sqrt{2})
]

Таким образом, длина стороны AB равна:
[
AB \approx 9(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \approx 9(2.45 + 1.41) \approx 9 \cdot 3.86 \approx 34.74
]

Итак, длина стороны ( AB \approx 9(\sqrt{6} + \sqrt{2}) ) или приближенно 34.74.