Давайте выполним морфологический разбор слова "котёнок" в предложении "У моего котёнка сегодня будет первая прививка".

Слово: котёнокЧасть речи: существительноеРод: Masculine (мужской род)Число: Singular (единственное число)Падеж: Генитив (родительный падеж)Одушевлённость: ОдушевлённоеОсновная форма: котёнокЗначение: молодая особь домашнего животного - кошки.

Таким образом, в предложении слово "котёнка" употреблено в родительном падеже, указывая на принадлежность ("моего котёнка").