Слова «пускай» и «пусть» в русском языке могут выполнять схожие функции, однако их употребление имеет определенные стилистические и оттеночные различия.

Пусть:

Общее значение: Используется для выражения разрешения или допуска, а также иногда в качестве вводного слова для выражения пожелания или надежды.Контекст: «Пусть» часто встречается в разговорной и литературной речи. Оно может употребляться в нейтральных и формальных контекстах.Примеры:
«Пусть он придет, если хочет.»«Пусть будет так, как решишь ты.»

Пускай:

Общее значение: Также выражает допущение или разрешение, но чаще носит оттенок безразличия или легкого снисхождения к теме.Контекст: «Пускай» чаще используется в разговорной речи и может звучать более неофициально. Иногда это слово может использоваться для выражения легкомысленного отношения к вопросу.Примеры:
«Пускай попробует, чего же он боится?»«Пускай будет так, я не против.»Сравнительный анализ:Формальность: «Пусть» более универсально и уместно в различных ситуациях, в то время как «пускай» является более разговорным и иногда может звучать менее серьезно.Оттенок значения: «Пускай» может передавать оттенок сомнения или легкости в отношении ситуации, тогда как «пусть» звучит более уверенно и прямо.Стилистическое использование: В литературе «пусть» может часто встречаться в диалогах персонажей, а «пускай» может использоваться для создания неформальной, дружеской атмосферы.

Таким образом, выбор между «пускай» и «пусть» зависит от контекста, интонации и эмоционального окрашивания высказывания.