Коротко и ясно — правило такое:

1) Со строчной (русский) пишется, когда слово является обычным прилагательным или именем нарицательным, обозначающим язык, национальность, принадлежность, признак:

русский язык, русская литература, русский офицер;он русский, она русская; русские (как название народа) — обычно со строчной.

2) С прописной (Русский) — когда слово входит в собственное имя/название или стоит в начале предложения/заголовка:

как часть официального названия: Русский музей, газета «Русский вестник», название организации или движения, где это — элемент имени;если слово стоит в начале предложения или заголовка: «Русский язык изучают во всём мире» (первое слово заглавное по правилу предложения/названия).

Дополнения и замечания:

В разговоре и в научном употреблении «русский» как этноним/название народа обычно пишут со строчной: русские, русский народ.В названиях церквей, организаций, журналов и т. п. соблюдают правила оформления собственных имён; тогда «Русский» будет с прописной там, где это часть имени. Пример: официально — «Русская Православная Церковь» (в составе официального названия каждое значимое слово — с прописной).Иногда авторы сознательно употребляют прописную для подчёркивания (риторика, идеология) — это стилистика, а не общая орфография.

И ещё полезное различие: «русский» — этническое/языковое прилагательное; «российский» — относящийся к России как государству (российский гражданин, российская экономика). Это не влияет на правило прописной/строчной, но помогает в выборе слова.