Кратко: оба глагола — о достижении результата, но отличаются оттенком значения и сферой употребления.

1) Управление (падежи)

Добиться (добиваться) — требует родительного падежа: добился (чего?) — добился повышения, добился уважения; часто употребляется с предлогом от + род. (добиться от кого-либо чего-либо) и в конструкции «добиться, чтобы + придаточное». Достигнуть / достичь (достигать / достигать) — тоже обычно управляет родительным падежом: достиг (чего?) — достиг цели, достиг предела; возможно употребление форм «достигнуть/достичь чего-либо».

2) Семантика и стилистика (когда какой предпочтительнее)

Добиться = «получить в результате усилий, настойчивых действий, добиться согласия/выполнения/признания». Подчёркивает активность, волевую борьбу или убеждение других. Часто — о социальных, личностных результатах, о том, что кто‑то «согласился/уступил».
Примеры: добиться повышения, добиться признания в науке, добиться от правительства изменений, добиться прощения.Достигнуть / достичь = нейтральный термин «приобрести/дойти до некоторого состояния, уровня, точки». Подходит и для физических (вершины, берега, скорость), и для абстрактных величин (уровня, результата). Формален, научен или описателен по стилю.
Примеры: достичь вершины горы, достичь максимальной скорости, достичь соглашения, достичь зрелости.

3) Нюансы и соотнесённость

Можно заменить: «добиться успеха» — «достичь успеха» (в целом взаимозаменяемы), но «добиться» придаёт смысл «посредством усилий/упорства». Нельзя/необычно заменить: «достигнуть вершины» — нормально; «добиться вершины» — звучит странно (т.к. вершина — не субъект, с которым можно «добиться» уступки). Аналогично: «температура достигла 40°» — «добиться 40°» — невозможно. В переговорах: «достигнуть договорённости» — нейтрально; «добиться договорённости» — подчёркивает, что соглашение было достигнуто благодаря усилиям одной стороны (переговоры, убеждение).

4) Примеры с объяснением

Он добился повышения у начальства. (Он добился — приложил усилия, убедил начальство дать повышение.) Компания достигла плановых показателей. (Нейтральный факт: показатели достигнуты.) Мы добились, чтобы нам вернули деньги. (Добились — заставили/добились от организации возврата.) Эксперимент показал, что удалось достичь нужной концентрации. (Научный/технический контекст, нейтрально.)

Итого: использовать «добиться», когда хотите подчеркнуть усилия, убеждение, волевую сторону процесса; «достигнуть/достичь» — когда просто фиксируете факт достижения уровня, точки или результата, особенно в нейтральном, научном или описательном контексте.