Коротко — оба варианта с «большинство» и с «часть» нормативны; с «многие» — только множественное число. Теперь подробнее.

1) Большинство

Оба сказуемых допустимы:
Большинство студентов пришло на лекцию. (ср. ед. число, средний род)Большинство студентов пришли на лекцию. (мн. число)Разница смысла/стиля:
При единственном числе (пришло) подчёркивается большинство как целое, как единая совокупность. Чаще встречается в книжном, официальном стиле.При множественном числе (пришли) подчёркивается действие отдельных людей, внимание на отдельные субъекты. Часто используется в разговорной и нейтральной речи.Оба варианта поддерживаются авторитетными справочниками (Розенталь и др.).

2) Часть

Аналогично «большинству»: возможны оба варианта.
Часть студентов пришла на лекцию. (целое)Часть студентов пришли на лекцию. (индивидуальные участники)Нюансы те же: ед. число — группа как единое целое; мн. — отдельные индивиды.

3) Многие

«Многие» грамматически множественное по форме, поэтому сказуемое ставится в мн. числе:
Многие студенты пришли на лекцию.*Многие студенты пришло — неграмматично.

4) Похожие конструкции

С «половина», «большая часть», «ряд» — действуют те же принципы: оба варианта возможны, если слово само по себе коллективное (половина студентов пришла/пришли).С количественными числительными (несколько, несколько десятков) обычно употребляют множественное сказуемое: «Несколько студентов пришли…».

Рекомендация на практике

В официальном/научном тексте, когда хотите показать группу как единое целое — используйте ед. число (ср. род): «Большинство студентов пришло…».Если хотите подчеркнуть действия отдельных людей или говорите непринуждённо — мн. число: «Большинство студентов пришли…».

Если нужно, могу привести дополнительные примеры и ссылки на справочники.