1) Морфемный состав

междусобойчик = междусобой- + -чик.
Здесь основа образована фразой «между собой» (сращённая в корневую основу междусобой-), к которой присоединён уменьшительно‑ласкательный/обиходный суффикс -чик.

2) Происхождение
Слово образовано в русском языке от сочетания предлога + возвратного местоимения «между собой» путём перехода сочетания в именную основу и приставления суффикса -чик. Суффикс придаёт уменьшительно‑ласкательную/фамильярную интонацию; слово образовано по типу разговорных названий собраний («посиделки», «встреча» → «встречечка» и т. п.). Исторически это не заимствование, а внутренне русское словообразование.

3) Стилистическая окраска
Разговорная, фамильярно‑шутливая, неформальная. Передаёт идею небольшой закрытой/частной, тёплой, непринуждённой встречи «в узком кругу», иногда с оттенком лёгкой иронии или умаления серьёзности мероприятия. Не грубое, но неофициальное.

4) Уместность употребления в официальном сообщении
Не рекомендуется. В официальной (деловой, ведомственной, юридической) переписке и документах слово выглядит неформально и фамильярно. Для официального стиля лучше использовать: «встреча в узком составе», «внутреннее совещание», «неофициальная встреча/встреча в неформальной обстановке», «закрытая встреча» в зависимости от смысла.

Примеры:

Разговорный: «После работы устроим междусобойчик у меня дома.» Официальный вариант: «Предлагаю провести встречу в узком составе / организовать неформальную встречу для обсуждения вопросов.»