Короткое правило: предлог «с» принимает форму «со-» ради благозвучия — когда прямое сцепление звуков было бы труднопроизносимым (обычно перед сочетаниями нескольких согласных или в устойчивых сочетаниях). Орфография следует фонетике и традиции.

Разбор примеров:

«со мной» — слово «мной» начинается с группы согласных ([m][n]). Если бы стоял просто «с», получился бы тяжёлый кластер ([s][m][n]); вставка гласной облегчает произношение, поэтому «со мной».«с другом» — «другом» начинается с одного согласного ([d]). Сочетание ([s][d]) произносится легко, поэтому пишем «с другом».«со сцены» — «сцены» начинается с последовательности ([s][t͡s]) (в письме «сц-»). «С сцены» дало бы стыковку одинаковых или близких шипящих/аффрикат ([s][s/...]) и было бы неудобно; нормативно — «со сцены».«с толпой» — «толпой» начинается с одного или легко сочетаемого с «с» согласного ([t]), сочетание ([s][t]) произносится нормально, поэтому «с толпой».

Итого: выбирают «со-» там, где без гласного получился бы тяжёлый (неудобно артикулируемый) консонантный кластер или в закреплённых сочетаниях (например «со мной», «со мною», «со всеми», «со сцены» и т. п.).