Коротко: глаголы просьбы (просить / попросить) чаще всего требуют прямого дополнения в винительном (кого? что?) для обозначения того, к кому обращена просьба, и это дополнение является контролирующим субъектом инфинитива (object control). Поэтому правильно: «Он попросил меня прийти» (меня — винительный, я = субъект придаточного «прийти»).

Возможные схемы управления у таких глаголов:

попросить/просить + кого (вин.) + инфинитив — «Он попросил меня прийти» (обращение к человеку);попросить у + кого (род.) + что — «Он попросил у меня денег» (попросить что‑то у кого‑то);просить/попросить + о + чём (предложный) — «Он просил меня о помощи» (просил о чём‑то).

Почему нельзя «попросил мне прийти»: форма «мне» — дательный падеж. Дательный в русском используется у других глаголов, которые лексически требуют дательного контролера (например «приказать/поручить/разрешить»: «Он приказал мне уйти», «Он разрешил мне уйти»). Глагол «попросить» такой дательный не выбирает; его синтаксическая валентность — винительный объект (тот, кого просят). Поэтому сочетание «попросил мне прийти» грамматически неверно.