Коротко о главном. Вводные слова выражают отношение говорящего (оценку, уверенность, источник мысли и т.п.) и не являются членами предложения, поэтому обычно отделяются запятыми: «По-моему, он прав», «Без сомнения, дождь начнётся», «К счастью, все живы».
Различие вводного и члена предложения — по функции в предложении. Признаки вводного слова:
- его можно убрать без нарушения грамматики и связи слов в предложении («Он прав.» ← убрать «По-моему,»);
- оно не отвечает на синтаксические вопросы (кто? что? где? когда? как? и т.п.);
- при произнесении обычно слышна интонационная пауза.
Примеры с парами (вводное / член предложения):
- По-моему (вводное, с запятой): «По-моему, он ошибается.»
По моему совету (член предложения, без запятых): «Он поступил по моему совету.»
- Без сомнения (вводное): «Без сомнения, это важно.»
Без сомнения (обстоятельство, член предложения): «Он без сомнения знает ответ.» — здесь фраза отвечает на вопрос «как?» и запятых нет.
- К счастью (вводное): «К счастью, мы успели на поезд.»
К счастью (направление, член предложения): «Он стремится к счастью.» — здесь это дополнение/обстоятельство, запятой нет.
Практическое правило: если сомневаетесь, попробуйте убрать словосочетание; если предложение остаётся связным и смысл понятен — ставьте запятую (вводное). Если же словосочетание входит в синтаксическую конструкцию (отвечает на вопросы, связано с другими словами) — запятая не ставится.