Коротко — правило и проверка.
1) Пишется слитно «несмотря на», когда имеет значение «вопреки», «при том что» (предлог): например, «Несмотря на дождь, мы пошли гулять», «Проект завершили несмотря на трудности».
2) Пишется раздельно «не смотря», когда это деепричастие от «смотреть» с частицей «не» — т.е. = «не глядя» (буквальное действие): например, «Он шёл, не смотря по сторонам» (он не смотрел по сторонам), «Она, не смотря на зрителей, вела себя естественно» (не глядя на зрителей).
3) Как проверить: если можно заменить на «вопреки», «при том что» — пишите слитно; если на «не глядя», «не поглядывая» — раздельно.
4) Примеры, где возможны оба варианта, но с разным значением:
- «Она, не смотря на зрителей, вела себя естественно.» (буквально: не глядя на зрителей)
- «Она, несмотря на зрителей, вела себя естественно.» (вопреки присутствию зрителей)
Отдельно: устойчивое сочетание «несмотря ни на что» всегда пишется слитно.