Нужна: запятая ставится. В предложении «Он пообещал, что придёт завтра» слово «что» — подчинительный союз, вводящий изъяснительное придаточное; такое придаточное отделяется запятой от главной части.
Краткий разбор правил (когда ставится / не ставится):
1) Ставится (основное правило): когда «что» вводит придаточное предложение (изъяснительное и др.).
Примеры: «Я знаю, что ты прав.», «Он сказал, что придёт.»
2) Не ставится, если «что» не является подчинительным союзом, а — местоимением или частицей внутри простого предложения:
- в вопросах/сочетаниях типа «Кто что сказал?», «Что за человек!»;
- в частицах и междометиях «что ж», «что ли», «да что же» и т.п.
3) Особые сочетания: в составных союзах и союзных сочетаниях (например «так что», «не то чтобы» и др.) правила зависят от функции; чаще «так что» связывает две независимые части и перед ним ставят запятую («Опоздал, так что…»), а «не то чтобы» выступает как цельный оборот.
Итого: в вашем примере запятая обязательна, поскольку «что» вводит придаточное.