Из условия |a-1000b| = |a+1000b| получаем, что квадраты длин векторов a-1000b и a+1000b равны:

|(a-1000b)|^2 = |(a+1000b)|^2

(a-1000b) (a-1000b) = (a+1000b) (a+1000b)

aa - 2000(ab) + 1000000bb = aa + 2000(ab) + 1000000bb

Упрощаем:

-2000(ab) = 2000(ab)

(ab) = - (ab)

Таким образом, скалярное произведение векторов a и b равно нулю, что и означает, что векторы a и b перпендикулярны друг другу.