Пусть площадь четвертого куска равна ( S_4 ). Тогда общая площадь всех четырех кусков будет равна:

[
S_{\text{total}} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4
]

где ( S_1 = 6 ) дм², ( S_2 = 9 ) дм² и ( S_3 = 12 ) дм².

Подставим значения:

[
S_{\text{total}} = 6 + 9 + 12 + S_4 = 27 + S_4
]

Чтобы каждый из четырех кусков имел целые стороны, необходимо просмотреть все возможные комбинации для площадей ( S_1, S_2, S_3 ) и найти такие комбинации для ( S_4 ), при которых также получится целая сторона.

Также заметим, что площадь ( S4 ) должна быть такой, что ( S{\text{total}} ) — это сумма четко их площадей, и ( S_4 ) тоже должно быть целым числом. Размеры прямоугольников должны быть такие, чтобы выполнялись условия многократного целочисленного разложения.

Поскольку в задаче сказано, что площадь ( S_4 ) должна удовлетворять данной условности, давайте проверим, какие значения могут быть у ( S_4 ):

( S4 = S{\text{total}} - 27 ).Например, начнем с ( S_4 = 6 ) дм² (наименьшее значение).Смотрим на ( S_{\text{total}} = 33 ) дм².

Теперь можем проверить, какие существуют соотношения у всех 4 прямоугольников.

Из условия можно понимать, что это всего 4 прямоугольника, и их стороны также должны быть составлены из целых чисел.

Теперь можем взять квадрат 36 (например, 6 * 6) чтобы видеть, как распределяются площади, но здесь значение ( S_4 ) не может выходить сразу.

Следовательно, берем последовательно:

Попробуем пересчитать ( S_4 ):

Если ( S4 = 3 ):
[
S{\text{total}} = 30 \rightarrow \text{перерывность}
]

Если ( S4 = 6 ):
[
S{\text{total}} = 33 \rightarrow \text{перерывность}
]

Если ( S4 = 10 ):
[
S{\text{total}} = 37 \rightarrow - \text{от 37 с целочисленным разложением}
]

( S4 = 15 ):
[
S{\text{total}} = 42 = 6 \times 7
]

Варианты можно вывести из этих значений к четким величинам.

Но окончательно находим:

( S_4 = 15 ).И полной площади:
[
S_{\text{total}} = 27 + 15 = 42 \, дм^2.
]

Ответ:
Площадь четвёртого кружева равна ( 15 ) дм², общая площадь — ( 42 ) дм².