Обозначим точку, где биссектриса угла B пересекает BC, как E. Так как BD делится в отношении 3:1, то можно найти, что BD = 3/4BC = 3/45 = 15/4. Заметим, что треугольник BDC - прямоугольный, так как угол в центре окружности в два раза больше угла на окружности, опирающегося на тот же дуге. Следовательно, по теореме Пифагора, DC = √(BC^2 - BD^2) = √(5^2 - (15/4)^2) = √(25 - 225/16) = √(400/16 - 225/16) = √(175/16) = 5√7 / 4.

Так как треугольник BDC - прямоугольный, то DE - это диаметр описанной около него окружности, а значит угол EBC = 90. Следовательно, треугольник ABC прямоугольный. Из этого следует, что AE - это высота, опущенная на гипотенузу треугольника ABC. Для поиска высоты можно использовать факт того, что площадь треугольника ABC можно посчитать двумя способами - через площадь BDC или через полупериметр треугольника ABC. Таким образом, AE = (2S_ABC) / BC = 2S_BDC / BC = (BD DC) / BC = (15/4)(5√7 / 4) / 5 = 75√7 / 64.

Из этого следует, что AB = √(AE^2 + BE^2) = √((75√7 / 64)^2 + (15 / 4)^2) = √(56257 / 64^2 + 225 / 16^2) = √(39375 / 4096 + 225 / 256) = √((39375 + 22516) / 4096) = √(39375 + 3600 / 4096) = √(42975 / 4096) = √(42975 / 64^2) = √(42975) / 64 = 3√4775 / 64.

Таким образом, периметр треугольника ABC равен AB + BC + AC = 3√4775 / 64 + 5 + 5 = (3√4775 + 74) / 64.