Площадь равнобедренной трапеции равна

S = (a + b) * h / 2,

где a и b - основания трапеции, h - высота.

Так как трапеция равнобедренная, то a = b.

Также, можно сказать, что a + 2r = 2 pi r,
a + 8 = 8 pi,
a = 8 pi - 8.

Тогда
(8 pi - 8) h = 160,
h = 20 / (8 * pi - 8).

Теперь найдем высоту h. Для этого введем прямоугольный треугольник ABC, где AB - радиус описанной окружности трапеции (4см), а BC - половина основания трапеции a/2 = (8 pi - 8) / 2 = 4 pi - 4. Тогда радиус вписанной окружности треугольника ABC равен r = 4 * pi - 4.

С учетом равенства треугольников DCA и CBE, можем выразить h:

r = h/(2 sin(45)),
h = 2 r * sin(45).

Тогда
h = 2 (4 pi - 4) * sin(45),
h ≈ 11.3137.

Теперь находим боковые стороны трапеции.

r = R cos(alpha),
где alpha = (180° - 45°) / 2 = 67.5°,
r = 4 cos(67,5°) ≈ 1.465.

Теперь можем найти длины боковых сторон трапеции:

a = 2 r sin(alpha) = 2 1.465 sin(67.5°) ≈ 2.624,
b = 2 r sin(alpha) = 2 1.465 sin(67.5°) ≈ 2.624.

Теперь можно найти периметр трапеции:

P = a + b + 2 h ≈ 2.624 + 2.624 + 2 11.3137 ≈ 27.5774.

Итак, периметр этой трапеции равен примерно 27.5774 см.