Обозначим меньший катет как (a), а гипотенузу как (c). Поскольку один из углов прямоугольного треугольника равен 60 градусов, то другой угол будет равен 30 градусам. Тогда по формуле синуса у нас будет:
[\sin 60^\circ = \frac{a}{c}]
Так как (\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}), то
[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{c} \Rightarrow a = \frac{c}{2\sqrt{3}}]
Также по условию задачи имеем:
[c + a = 18]
Подставляем выражение для (a):
[c + \frac{c}{2\sqrt{3}} = 18]
[c\left(1 + \frac{1}{2\sqrt{3}}\right) = 18]
[c\left(\frac{2\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{3}}\right) = 18]
[c = \frac{18 \cdot 2\sqrt{3}}{2\sqrt{3} + 1} \approx 10.32 \text{ см}]
Теперь найдем (a):
[a = \frac{c}{2\sqrt{3}} \approx \frac{10.32}{2\sqrt{3}} \approx 3.76 \text{ см}]
Итак, гипотенуза равна примерно 10.32 см, а меньший катет равен примерно 3.76 см.