Короткий ответ: нет, не всегда. Ниже — доказательство, критерии и зависимость углов/сторон.
1) Формулы для медиан. Обозначим стороны исходного треугольника $a=BC,b=CA,c=AB$. Тогда длины медиан равны
$$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2},m_b=\frac{1}{2}\sqrt{2c^2+2a^2-b^2},m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}.$$
2) Критерий остроты/тупости. Для треугольника с сторонами $m_a,m_b,m_c$ условие, что угол напротив $m_c$ острый, эквивалентно
$$m_a^2+m_b^2>m_c^2.$$ Подставляя формулы медиан, получаем простое выражение
$$m_a^2+m_b^2-m_c^2=\frac{1}{4}(5c^2-a^2-b^2).$$ Следовательно треугольник медиан будет остроугольным тогда и только тогда, когда выполняются все три неравенства
$$5a^2>b^2+c^2,5b^2>c^2+a^2,5c^2>a^2+b^2.$$ Аналогично правоугольность по стороне $m_c$ соответствует равенству $5c^2=a^2+b^2$; тупость возникает, если для некоторой стороны, скажем $c$, выполняется $5c^2<a^2+b^2$.
3) Контрпример (простой). Пусть $a=b=1,c=0.1$. Тогда
$$m_a=m_b\approx 0.505,m_c\approx 0.999,$$ и действительно $m_c^2>m_a^2+m_b^2$, поэтому треугольник медиан — тупой.
4) Углы треугольника медиан через стороны исходного. Обозначим угол медианного треугольника напротив стороны $m_a$ как ${\alpha }_m$. Тогда по теореме косинусов
$$\cos {\alpha }_m=\frac{m_b^2+m_c^2-m_a^2}{2m_b{m}_c}=\frac{5a^2-b^2-c^2}{4m_b{m}_c},$$ и аналогичные формулы для остальных углов. То есть углы треугольника медиан выражаются рационально (через корни) через квадраты сторон $a,b,c$.
5) Дополнительные замечания о зависимости:
- Стороны треугольника медиан — непрерывные функции от $a,b,c$ и заданы формулами из пункта 1.
- Если одна сторона исходного треугольника становится очень маленькой относительно двух других, то соответствующая медиана оказывается примерно равной сумме других двух медиан и треугольник медиан стремится к тупому (см. контрпример).
- В особых случаях: при равностороннем треугольнике медианы равны и треугольник медиан равносторонний; правоугольность медианного треугольника эквивалентна приведённому условию $5x^2=$ сумма квадратов прочих двух сторон.
6) Ещё полезная связь по площадям: площадь треугольника, стороны которого равны медианам исходного треугольника, равна $\frac{3}{4}$ площади исходного треугольника.
Вывод: утверждение «треугольник, образованный медианами, всегда остроугольный» неверно; точный критерий остроты даётся неравенствами $5a^2>b^2+c^2$ (и циклически).