Пусть основание треугольника имеет длину $b$, высота (от вершины к основанию) $H$. Рассмотрим прямоугольник высоты $h$ с одной стороной на основании ( $0<h\le H$ ).
1) Если прямоугольник «вписан» в традиционном смысле (его верхние вершины лежат на боковых сторонах треугольника), то для данного $h$ положение единственно: верхняя сторона лежит на горизонтали на высоте $h$, её пересечения с боковыми сторонами дают ширину
$$W(h)=b(1-\frac{h}{H}).$$ Площадь такого прямоугольника
$$A(h)=W(h)h=bh(1-\frac{h}{H}).$$
2) Если требование только в том, что одна сторона лежит на основании и прямоугольник внутренний (верхние вершины могут быть внутри, не обязательно на боковых сторонах), то при фиксированном $h$ возможны сдвиги вдоль основания; при этом
- максимальная площадь достигается когда верхние вершины касаются обеих боковых сторон (см. пункт 1), т.е. максимум при ширине $W(h)=b(1-h/H)$ и площади $A(h)$ выше;
- минимальная площадь при фиксированном $h$ не ограничена снизу (можно сделать ширину сколь угодно малой), поэтому площадь стремится к $0$.
3) Анализ оптимума по высоте (перемещая $h$): для вписанных прямоугольников $A(h)=bh(1-h/H)$. Производная
$$A^{\prime }(h)=b(1-\frac{2h}{H})$$ обнуляется при $h=\frac{H}{2}$. Это максимум, так как $A^{\prime \prime }(h)=-\frac{2b}{H}<0$. Максимальная площадь равна
$$A_{\max }=A\left(\frac{H}{2}\right)=b\frac{H}{2}(1-\frac{1}{2})=\frac{bH}{4},$$ что равно половине площади треугольника $(\frac{bH}{2}/2)$. Минимумы при $h\to 0$ или $h\to H$ дают площадь $0$.
Выводы коротко:
- при фиксированном $h$ и полном «вписании» положение уникально и площадь равна $bh(1-h/H)$;
- если разрешён произвольный внутренний прямоугольник с одной стороной на основании, максимум той же формы (верх касается обоих боковых сторон), минимум — стремится к $0$;
- по $h$ площадь максимальна при $h=H/2$ и равна $bH/4$.