Коротко: мн\-ство точек $P$ внутри тетраэдра, для которых выполняется линейное соотношение модулей расстояний с коэффициентами $\pm 1$ (например $d_A=d_B+d_C-d_D$) — почти всегда двумерная аналитическая поверхность в ${\mathbb{R}}^3$ (внутри тетраэдра даёт часть этой поверхности). В общем случае это алгебраическое множество степени до $4$ (вырождено в более простые поверхности в особых случаях). Пояснения и как исследовать:
1) Перепись в удобной форме. Обозначим $d_A=|PA|=\sqrt{(x-x_A{)}^2+(y-y_A{)}^2+(z-z_A{)}^2}$ и аналогично $d_B,d_C,d_D$. Примерное уравнение можно переписать как
$$d_A+d_D=d_B+d_C.$$ Это эквивалентно нулю функции
$$G(P)=d_A+d_D-d_B-d_C.$$ Множество решений внутри тетраэдра — уровень $G(P)=0$.
2) Алгебраическое избавление от корней. Одиночное возведение в квадрат даёт
$$d_A^2+d_D^2+2d_A{d}_D=d_B^2+d_C^2+2d_B{d}_C,$$ где $d_A^2=(x-x_A{)}^2+\dots$ — квадратичная функция от координат. Перенос линейной части вправо и повторное выделение корня с последующим возведением в квадрат приводит к уравнению, которое в общем является многочленом четвёртой степени от координат $x,y,z$. Отсюда общее утверждение: локус — (часть) алгебраической поверхности степени до $4$.
3) Особые (вырожденные) случаи:
- если соотношение сводится к $d_i=d_j$, то локус — плоскость, перпендикулярная $ij$ и проходящая через середину отрезка $ij$ (перпендикулярный биссектор);
- $d_i-d_j=$ const даёт поверхность типа двух\-листного гиперболоидного уровня (в ${\mathbb{R}}^3$ — гиперболоид уровня разности расстояний);
- $d_i+d_j=$ const даёт эллипсоидную поверхность (если константа больше межфокального расстояния);
- для сочетаний четырёх вершин (как в примере) обычно получаем невырожденную гладкую (кроме точек, где какой-то корень равен нулю) квартическую поверхность.
4) Наличие решений внутри тетраэдра. Поскольку $G(P)$ непрерывна на компакте (замкнутый тетраэдр), множество точек с $G(P)=0$ либо пусто, либо замкнуто и непусто при смене знаков $G$ на границе (по теореме о промежуточном значении). Практически проверяют значения $G$ в вершинах и на гранях: если на двух точках области $G$ имеет разные знаки, поверхность $G=0$ пересекает соединяющее их связное множество. Следовательно, наличие нулевого уровня зависит от относительного расположения вершин (в общем случае решение есть, но может и отсутствовать).
5) Локальные свойства и сингулярности. Внутри тетраэдра поверхность обычно гладкая (градиент $\nabla G\ne 0$ ), но в точках, где совпадают нули одного из расстояний (т.е. у вершины), функция не дифференцируема. Также возможны самопересечения поверхности и сложная топология её сечений с гранями.
6) Практическое исследование. Для конкретного тетраэдра и конкретного соотношения:
- вычислить $G(P)$;
- при необходимости квадратировать и получить алгебраическое уравнение (для теоретического анализа — степень, возможные сингулярности);
- для визуализации/поиска решений в интерьере тетраэдра использовать численное отсечение уровня $G=0$ (методы уровня уровня, метод Ньютона для уравнения в трёх переменных, конечные элементы).
Итого: множество точек, удовлетворяющих соотношению вида $d_A=d_B+d_C-d_D$, в общем — часть гладкой квартической поверхности, пересекающей (в зависимости от данных) объём тетраэдра; в частных симметричных случаях эта поверхность может вырождаться в плоскость, эллипсоид или гиперболоид.