Кратко — отказ от пятого постулата даёт две противоположные модификации планиметрии:
- гиперболическая геометрия (отрицательная кривизна): через точку вне прямой проходит более одной непересекающейся с ней прямой;
- эллиптическая (сферическая) геометрия (положительная кривизна): параллелей не бывает, любые две геодезические пересекаются.
Далее — конкретные следствия и примеры задач с кратким сравнением.
1) Сумма углов в треугольнике и связь с площадью
- Гиперболическая: для любого треугольника с углами $\alpha ,\beta ,\gamma$ справедливо $\alpha +\beta +\gamma <\pi$. Определяется дефект $\delta =\pi -(\alpha +\beta +\gamma )>0$. При постоянной кривизне $-1$ площадь равна
$$\text{Area}=\pi -(\alpha +\beta +\gamma )=\delta .$$ - Эллиптическая (сфера радиуса $R$): $\alpha +\beta +\gamma >\pi$. Определяется избыток $E=(\alpha +\beta +\gamma )-\pi >0$. Для единичной сферы площадь треугольника
$$\text{Area}=(\alpha +\beta +\gamma )-\pi =E,$$ в общем случае $\text{Area}=R^{2}E$.
Пример задачи: «Найти площадь треугольника по трём углам». В евклидовой задаче это невозможно; в неевклидовых — по сумме углов сразу даётся площадь (через дефект/избыток).
2) Количество параллельных прямых через внешнюю точку
- Гиперболическая: через точку $P$ вне прямой $l$ существует бесконечно много прямых, не пересекающих $l$; среди них две предельные (асимптотические) и множество внутренних.
- Эллиптическая: таких прямых нет — любая геодезическая через $P$ пересечёт $l$.
Пример задачи: «Построить через данную точку все прямые, не пересекающие заданную». Ответ резко различается: в гиперболическом случае множество, в эллиптическом — пусто.
3) Подобие треугольников и одновременная жёсткость
- В евклидовой геометрии существуют подобные, но не конгруэнтные треугольники (гомотетии).
- В обеих неевклидовых геометриях ненулевой характер кривизны задаёт естественный масштаб: треугольники с одинаковыми углами равны (AAA => конгруэнция). Следовательно нет нетривиальных гомотетий; понятие «подобие, не сводимое к конгруэнции» исчезает.
Пример задачи: «Докажите, что по трём углам треугольник единственно определён». В гиперболическом и эллиптическом случаях это утверждение верно (в отличие от евклидова).
4) Модифицированная теорема Пифагора (правый треугольник)
- Гиперболическая (правый угол при вершине С):
$$\cosh c=\cosh a\cdot \cosh b,$$ где $a,b,c$ — длины катетов и гипотенузы (при масштабе кривизны $-1$).
- Эллиптическая/сферическая (на единичной сфере, при правом угле):
$$\cos c=\cos a\cdot \cos b.$$
Пример задачи: «Найти зависимость гипотенузы от катетов в правом треугольнике». Ответы содержат гиперболические/тригонометрические функции, а не квадрат суммы.
5) Максимальное число прямых углов в многоугольнике, существование прямоугольников
- Гиперболическая: сумма углов выпуклого $n$-угольника меньше $(n-2)\pi$; в частности нельзя иметь четырёх прямых углов в четырёхугольнике (прямоугольников с четырьмя прямыми углами не существует).
- Эллиптическая (сферическая): сумма углов больше $(n-2)\pi$; возможно иметь треугольник с тремя прямыми углами и четырёхугольник с четырьмя прямыми (на сфере существуют геодезические квадраты/прямоугольники).
Пример задачи: «Существует ли прямоугольник (четыре правых угла)?» — гипербола: нет; эллиптика: да (пример — соответствующая геодезическая фигура на сфере).
6) Поведение геодезических, окружностей и «пределы» параллелей
- В гиперболической геометрии появляются асимптотические прямые, идеальные точки на границе, понятия кругов/гороциклов отличаются от евклидовых; многие задачные конструкции (касание, касательные в бесконечности) меняют смысл.
- В эллиптической (сферической) возникают ограничения размеров: большие треугольники имеют угловые суммы значительно больше $\pi$, область «небольших» фигур ограничена (область меньше полусферы ведёт себя более «евклидово»-подобно).
Итог: отказ от пятого постулата меняет базовые свойства — число параллелей, сумму углов, связь площади с углами, вид теорем (Пифагор заменяется гиперболической/сферической формулой), исчезает свободная масштабируемость (подобие => конгруэнция). Для конкретных задач планиметрии нужно выбирать соответствующие формулы (дефект/избыток, гиперболические/сферические законы косинусов и т.д.).