Обозначим $\alpha =\angle ACB$ и пусть константа разности равна $k$. Тогда требование равноценно фиксированному значению
$$\angle APB=\beta :=\alpha +k.$$
1) Общая форма множества. Для фиксированного ненулевого угла $\beta$ множество точек $P$, из которых отрезок $AB$ виден под углом $\beta$, составляет две окружности, проходящие через $A$ и $B$ (точнее — две полные окружности или соответствующие дуги по обе стороны от прямой $AB$). (Если $\beta$ равен $0$ или $\pi$, то получается вырождённый случай — прямая $AB$.)
2) Краткое обоснование. По теореме о вписанном угле: для любой окружности, проходящей через $A$ и $B$, величина вписанного угла, опирающегося на хорду $AB$, постоянна и равна половине центрального угла, опирающегося на ту же хорду. Следовательно требуемое значение $\beta$ задаёт центральный угол $2\beta$ и потому определяет радиус и центр окружности(й), проходящей через $A$ и $B$.
3) Построение. Пусть $c=|AB|$, $M$ — середина отрезка $AB$.
- Если $\sin \beta =0$, то $\beta \in \{0,\pi \}$ — см. вырожд. случай (линия $AB$).
- Иначе вычисляем радиус
$$R=\frac{c}{2\sin \beta },$$ и расстояние от $M$ до центра вдоль серединного перпендикуляра
$$OM=\frac{c}{2}\cot \beta .$$ - На серединном перпендикуляре к отрезку $AB$ от точки $M$ откладываем в обе стороны расстояние $|OM|$; получаем два центра $O_1,O_2$. Проведя окружности радиуса $R$ с центрами $O_1,O_2$, получим требуемые окружности. Любая точка $P$ на этих окружностях (кроме $A,B$) даёт $\angle APB=\beta$, значит удовлетворяет исходному условию.
4) Замечания. При $\beta >\pi$ можно заменить $\beta$ на эквивалентный угол в интервале $(0,\pi )$ (вписанные углы считаются по модулю $\pi$). Финальный геометрический образ — две окружности через $A$ и $B$, симметричные относительно серединного перпендикуляра к $AB$.