Формулировка. Пусть даны шесть точек $A_1,A_2,\dots ,A_6$ в указанном циклическом порядке. Необходимо и достаточно, чтобы существовал (возможно самопересекающийся) шестиугольник с этими вершинами в том же порядке и с попарно параллельными противоположными сторонами, выполнение трёх параллельностей
$$A_1{A}_2\parallel A_4{A}_5,A_2{A}_3\parallel A_5{A}_6,A_3{A}_4\parallel A_6{A}_1.$$
Доказательство.
- Необходимость. Если такой шестиугольник существует, то его стороны — именно отрезки $A_1{A}_2,A_2{A}_3,\dots ,A_6{A}_1$, поэтому по условию противоположные стороны параллельны, т.е. перечисленные три параллельности выполняются.
- Достаточность. Если перечисленные три пары отрезков параллельны, то при соединении точек в данном порядке мы уже получаем шестиугольник (с вершинами $A_1,\dots ,A_6$), у которого по построению противоположные стороны попарно параллельны. То есть эти три параллельности сами по себе гарантируют требуемое свойство.
Альтернативная векторная формулировка (эквивалентна): пусть
$$a=A_1{A}_2,b=A_2{A}_3,c=A_3{A}_4,$$ и пусть существуют ненулевые числа ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ такие, что
$$A_4{A}_5={\lambda }_{1}a,A_5{A}_6={\lambda }_{2}b,A_6{A}_1={\lambda }_{3}c.$$ Тогда условие замкнутости многоугольника даёт векторное равенство
$$(1+{\lambda }_1)a+(1+{\lambda }_2)b+(1+{\lambda }_3)c=0,$$ и наоборот: наличие таких ${\lambda }_i$ вместе с указанными коллинеарностями эквивалентно искомому свойству.
(Итого: необходимые и достаточные условия — ровно три указанные коллинеарности / параллельности; эквивалентно — существование соответствующих скалярных множителей ${\lambda }_i$, удовлетворяющих приведённому векторному равенству.)