Ниже даю компактные, конструктивно-реалистичные алгоритмы (циркуль + линейка) для двух естественных классов исходных данных. Везде обозначения: треугольник $ABC$, стороны $a=BC,b=CA,c=AB$; медиана из $A$ — $m_a$, высота из $B$ — $h_b$, биссектриса из $C$ — $t_c$. Для других перестановок верны те же схемы с переобозначением вершин.
1) Случай: все три отрезка исходят из одной вершины (например, медиана, высота и биссектриса из вершины $A$): даны числа $m=AM,h=AH,t=AL$ (точки $M,H,L$ лежат на стороне $BC$).
Построение (шаги):
1. Постройте точку $A$ (произвольная). На окружности с центром $A$ и радиусом $h$ возьмите точку $H$. (Это будет основание высоты.)
2. Через точку $H$ проведите прямую, перпендикулярную $AH$ — это прямая, на которой лежит сторона $BC$.
3. Пересечение этой прямой с окружностью радиуса $m$ (центр $A$) даёт две возможности для точки $M$ (если пересечение пусто — решений нет): $M$ — середина $BC$.
4. Пересечение той же прямой с окружностью радиуса $t$ (центр $A$) даёт точки $L$ (точка пересечения биссектрисы с $BC$).
(Таким образом прямая $BC$ и положения точек $H,M,L$ полностью определены до двух симметрий.)
5. Найдите отражение точки $A$ относительно $M$: точка $A^{\prime }$ такая, что $M$ — середина отрезка $A{A}^{\prime }$. (Построение отражения — простая циркульная операция.)
6. Найдите отражение точки $L$ относительно $M$: точка $L^{\prime }$.
7. Центр подобия, переводящий отрезок $A{A}^{\prime }$ в $L{L}^{\prime }$, является искомой точкой $B$ или $C$. Его получают как пересечение двух прямых: $S_1=AL\cap A^{\prime }{L}^{\prime }$ (внутренняя) и $S_2=A{L}^{\prime }\cap A^{\prime }L$ (внешняя). Искомые основания $B,C$ — пересечения этих центров с прямой $BC$. Выберите тот вариант, при котором отражением одной найденной точки по $M$ получается другая.
8. Получив $B$, получаете $C$ как отражение $B$ через $M$. Убедитесь, что $AH\perp BC$ и длины $AM,AH,AL$ совпадают с заданными; если нет — второй симметрический вариант.
Короткое пояснение корректности: в этой постановке $H,M,L$ лежат на одной прямой $BC$ и их радиальные расстояния до $A$ дают однозначные положения на перпендикуляре; затем поиск $B$ сводится к задаче центра подобия двух отрезков, что верно конструктивно.
2) Случай: данные относятся к трем различным вершинам (например, известны $m_a,h_b,t_c$) — общий алгоритм через алгебраическое исключение и решение квадратичного уравнения (выполнимо циркулем и линейкой).
Основные формулы (используемые для вывода уравнения):
- формула для медианы:
$$4m_a^2=2b^2+2c^2-a^2.$$ - высота из $B$: $h_b=c\sin A$. Через косинус угла $A$ $$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},{\sin }^{2}A=1-{\cos }^{2}A,$$ откуда
$$h_b^2=c^2(1-(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}{)}^2).$$ - длина биссектрисы из вершины $C$:
$$t_c^2=ab(1-\frac{c^2}{(a+b{)}^2}).$$
Алгоритм (шаги):
1. Запишите три уравнения выше как систему в неизвестных $a,b,c$.
2. Алгебраически исключите $b$ и $c$, сводя систему к одному уравнению относительно одной переменной, например $x=a^2$. При аккуратном исключении (подстановка и приведение к общему знаменателю) получается алгебраическое уравнение невысшего порядка; в рассматриваемой задаче это сводится к квадратичному уравнению по $x$ (в типичных случаях) или к уравнению, сводимому к квадратному по замене переменных. (Технически подробное исключение — чисто алгебраическая операция; при конкретных числовых значениях её выполняют вручную или символически.)
3. Квадратное уравнение $A{x}^2+Bx+C=0$ геометрически решается циркулем и линейкой (строятся отрезки $B/A$ и $C/A$, затем окружности/параболы; стандартная конструкция корней квадрата: решение через построение диагоналей прямоугольного треугольника или через разложение на произведение двух линейных множителей — классический метод). Получаем одно или два допустимых значения $a=\sqrt{x}$.
4. Подставив $a$, восстановите $b$ и $c$ из линейных/квадратичных уравнений системы (например, из формулы медианы выразить $b^2+c^2$, затем из формул для $h_b$ и $t_c$ получить отдельные $b$ и $c$). Все получаемые квадратные корни и деления — конструктивны (квадратный корень и деление отрезков строятся циркулем и линейкой).
5. Имея длины сторон $a,b,c$, постройте треугольник стандартно: отложите на прямой отрезок длины $a$ для основания $BC$, затем из концов постройте окружности радиусов $b$ и $c$ и возьмите их пересечение — вершина $A$.
Пояснения и замечания:
- Все алгебраические операции, которые приводят к квадратному уравнению и извлечению корней, реализуемы циркулем и линейкой, потому что они сводятся к сложению, умножению, делению и извлечению квадратного корня (конструктивно осуществимы).
- В некоторых частных случаях система даёт два решения (симметрия), одно или ни одного (несовместность). Необходимо проверять позитивность и геометрические ограничения (например, $m^2\ge h^2$ в вариантах с общей вершиной).
- Для любой конкретной числовой тройки $m_a,h_b,t_c$ можно написать явные выражения и получить конечную квадратную задачу; далее — стандартная конструктивная процедура.
Коротко о вариантах: для любых других назначений (медиана/высота/биссектриса приходят из других вершин) алгоритмы те же: либо (A) все три — из одной вершины: прямое геометрическое построение через перпендикуляр и пересечение окружностей (п.1); либо (B) данные из разных вершин: сведение к системе формул и решению квадратичной задачи (п.2), с последующей стандартной постройкой по трём сторонам.
Если нужно — могу привести полностью выписанное исключение и явную конструкцию (последовательность построений) для конкретной перестановки данных (например, для $m_a,h_b,t_c$) с явным квадратичным уравнением и геометрической процедурой его решения.