Обозначим стороны треугольника как a, b и c, где c - гипотенуза. Тогда пусть радиус вписанной окружности в треугольник АВС равен r, а высота треугольника, проведенная из вершины C, равна h.

По формуле площади треугольника через радиус вписанной окружности и полупериметр получаем:
S = r * (a + b + c) / 2

По формуле площади треугольника через стороны получаем:
S = (1/2) b h

Отсюда получаем:
r (a + b + c) / 2 = (1/2) b h
r = h (a + c - b) / (a + b + c)

Также по формуле площади треугольника через стороны и радиус вписанной окружности получаем:
S = r1 (a + h + c) / 2 = r2 (b + h + c) / 2

Отсюда:
r1 = h (a + c - h) / (a + h + c)
r2 = h (b + c - h) / (b + h + c)

Таким образом, имеем систему уравнений:
r = h (a + c - b) / (a + b + c)
r1 = h (a + c - h) / (a + h + c)
r2 = h * (b + c - h) / (b + h + c)

Из данных системы уравнений можно выразить h и получить значение длины высоты CK.