Диагональ куба соединяет два противоположных вершины грани через центр куба, создавая прямой угол. Поэтому диагональ грани куба равна гипотенузе прямоугольного треугольника, а катеты этого треугольника равны сторонам куба.

Таким образом, диагональ грани куба равна √(a^2 + a^2), где a - длина стороны куба.

12√2 = √(a^2 + a^2)
144*2 = 2a^2
288 = 2a^2
144 = a^2
a = √144
a = 12

Таким образом, сторона куба равна 12 см.

Объем куба равен a^3:
V = 12^3
V = 1728 см^3

Ответ: объем куба равен 1728 см^3.