Обозначим длину стороны треугольника АС через х. Так как М - середина стороны АС, то МС = МА = х/2.

Из условия угол МА1С1 = 60 градусов следует, что треугольник МА1С1 - равносторонний. Таким образом, МА1 = A1C1 = 5 см.

Из теоремы Пифагора для треугольника МАС получаем:
МА^2 + МС^2 = АС^2,
(x/2)^2 + (х/2)^2 = AC^2,
2x^2/4 = AC^2,
2x^2 = 4AC^2,
AC = sqrt(2x^2/4) = x/√2.

Теперь, в равностороннем треугольнике А1С1М применим теорему косинусов:
5^2 = MA1^2 + MC1^2 - 2 MA1 MC1 cos60,
25 = x^2/4 + x^2/4 - 2 x^2/4 * cos60,
25 = x^2/2 - x^2/4,
25 = 3x^2/4,
100 = 3x^2,
x^2 = 100/3,
x = 10 / sqrt(3).

Таким образом, сторона треугольника АС равна 10 / sqrt(3) см.