Для доказательства того, что КА1В1М - параллелограмм, рассмотрим треугольник AOВ и его медиану КМ.

Так как медиана АА1 является средней линией в треугольнике АОВ, то вершина О делит сторону ВС пополам.

Теперь обратим внимание на треугольники АКМ и MV1K, оба, очевидно, равны по двум сторонам и углу между ними, так как AM=MB и КМ – общая. Следовательно, КА1=ВМ равны. К тому же, заглавный угол основания ВК1е равен оппозитному углу основания КА1М, а оппозитный углу стороны КМ равен оппозитному углу стороны MV1, что означает, и относительным сторонам равенства углов. Следовательно, треугольники AKM и MV1K равны.

Таким образом, КА1=ВМ, VK1=МК. Известно, что у ВК1 и МА1 паралельники, так как ВК1=АМ, и у НМ и МВ1, так как НМ=МВ1. Значит КМ=В1А1 и у треугольника В1А1К и М паралельны.