Для нахождения высоты треугольника можно воспользоваться формулой для вычисления площади треугольника по его сторонам:

S = (a * h) / 2,

где S - площадь треугольника,
a - длина основания треугольника,
h - высота треугольника.

Так как у нас заданы стороны треугольника, можем воспользоваться формулой полупериметра треугольника:

p = (a + b + c) / 2,

где p - полупериметр треугольника,
a, b, c - стороны треугольника.

Подставим значения сторон треугольника:

p = (15 + 17 + 8) / 2 = 20 дм.

Теперь можем найти площадь треугольника:

S = sqrt(p (p - a) (p - b) (p - c)) = sqrt(20 (20 - 15) (20 - 17) (20 - 8)) = sqrt(20 5 3 * 12) = sqrt(3600) = 60 дм^2.

Теперь можем найти высоту треугольника:

h = (2 S) / a = (2 60) / 15 = 120 / 15 = 8 дм.

Таким образом, меньшая высота треугольника равна 8 дм.