Обозначим катеты треугольника как a и b, а гипотенузу как c. Так как один из острых углов треугольника равен 15 градусам, то другой острый угол будет равен 75 градусам (90 градусов - 15 градусов).

Теперь мы можем записать три уравнения по теореме синусов для треугольника:

$\frac{a}{\sin(75)} = \frac{c}{\sin(15)}$

$\frac{b}{\sin(15)} = \frac{c}{\sin(75)}$

$a^2 + b^2 = c^2$

Разделим первое уравнение на второе:

$\frac{a}{b} = \frac{\sin(75)}{\sin(15)}$

Заметим, что $\sin(75) = \sin(90 - 15) = \cos(15)$ и $\sin(15) = \sin^2(15) = (1 - \cos^2(15))^{\frac{1}{2}} = (1 - \cos(30))^{\frac{1}{2}} = (1 - \frac{\sqrt{3}}{2})^{\frac{1}{2}}$.

Теперь подстановим полученные значения в уравнение:

$\frac{a}{b} = \frac{\cos(15)}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})^{\frac{1}{2}}}$

Отсюда находим, что $a = b\frac{\cos(15)}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})^{\frac{1}{2}}}$

Теперь подставим найденное выражение для a в уравнение a^2 + b^2 = c^2:

$b^2(1 + \frac{\cos^2(15)}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})}) = c^2$

Учитывая, что $\cos^2(15) = 1 - sin^2(15) = 1 - (1 - cos(15))^2 = 2\cos(15) - 1$, найдем следующее:

$b^2(1 + \frac{2\cos(15) - 1}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})^(1/2)}) = c^2$

$b^2\frac{(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\cos(15) - 1}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})^(1/2)}) = c^2$

$b^2\frac{2\cos(15) - \frac{\sqrt{3}}{2}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})^(1/2)}) = c^2$

$b^2\frac{2\cos(15) - \frac{\sqrt{3}}{2}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})^(1/2)}) = c^2$

Из этого выражения можно выразить c:

$c = b\sqrt{2\cos(15) - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Теперь вычислим произведение катетов:

$ab = b\frac{\cos(15)}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})^{\frac{1}{2}}} * b = b^2\frac{\cos(15)}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})^{\frac{1}{2}}} = c^2$

Таким образом, произведение катетов равно половине квадрата гипотенузы, что и требовалось доказать.