Пусть гипотенуза треугольника ABC равна с, а катет AB равен b.

Так как внешний угол при вершине C равен 150 градусов, то угол CAB равен 90 - 150 = 60 градусов.

Из условия задачи мы знаем, что c - b = 4.

Также мы можем записать соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника:
c^2 = a^2 + b^2.

Исходя из того, что угол CAB равен 60 градусов, мы сделаем вывод, что a = c sin(60) = с sqrt(3) / 2.

Теперь мы можем подставить это в уравнение Пифагора и подставить значение a из предыдущего шага:
с^2 = (с * sqrt(3) / 2)^2 + b^2
с^2 = 3с^2 / 4 + b^2
4с^2 = 3с^2 + 4b^2
b^2 = с^2.

Теперь у нас есть два уравнения:
c - b = 4
b^2 = c^2

Решив это уравнение методами алгебры, у нас получится:
b = 2√7

Ответ: катет AB равен 2√7.