Обозначим сторону ромба как а, а его диагонали как d1 и d2.

По условию, перпендикуляр из точки пересечения диагоналей делит сторону на отрезки, разность которых равна 7 см. То есть, если мы обозначим эти отрезки как х и (a - x), то выполняется следующее уравнение:

a - x - x = 7
a - 2x = 7

Так как перпендикуляр равен 12, то мы можем записать:

d1 = 12
d2 = 12

Теперь применим теорему Пифагора к треугольникам, образованным диагоналями и сторонами ромба. Получаем систему уравнений:

d1^2 = x^2 + (a - x)^2
d2^2 = x^2 + (a - x)^2

Подставляем известные значения:

12^2 = x^2 + (a - x)^2
12^2 = x^2 + (a - x)^2

Решаем систему уравнений и находим a и x:

144 = x^2 + a^2 - 2ax + x^2
144 = 2x^2 + a^2 - 2ax

Из уравнения a - 2x = 7 следует, что a = 2x + 7. Подставляем это значение в уравнения:

144 = 2x^2 + (2x + 7)^2 - 2x(2x + 7)

Решаем это уравнение и получаем два решения: a = 22 и x = 15.

Теперь можем найти длину диагоналей:

d1^2 = x^2 + (a - x)^2
d1^2 = 15^2 + (22 - 15)^2
d1^2 = 225 + 49
d1 = √274

Аналогично находим вторую диагональ:

d2^2 = x^2 + (a - x)^2
d2^2 = 15^2 + (22 - 15)^2
d2^2 = 225 + 49
d2 = √274

Итак, длина диагоналей ромба равна √274.