Обозначим основания трапеции как $AB$ и $CD$ ($AB > CD$), причем $AD$ - более длинная сторона. Точки касания окружностей с основаниями обозначим как $E$ и $F$.

Так как центры окружностей совпадают с серединами боковых сторон трапеции, то $AE = BE$ и $CF = DF$.

Пусть $AD = a$, тогда $AB = 5a$ (учитывая условие задачи), $CD = b$ и $DC = 5b$.

Из равенства треугольников $AED$ и $BEC$ получаем, что $\angle AED = \angle BEC$. Также, из равенства треугольников $BCF$ и $ADF$ получаем, что $\angle BCF = \angle ADF$.

С учетом этого получаем, что $\angle AEC = \angle ABC = 90^{\circ} - \angle BEC - \angle BCF = 90^{\circ} - \angle AED - \angle ADF$. Но $\angle AED + \angle ADF = \angle ADC = 90^{\circ}$, так как $AD \perp AB$, значит наш искомый угол равен $\boxed{45^{\circ}}$.