Для решения этой задачи можно воспользоваться методом цилиндрического слоя.

Для нахождения объема тела, полученного при вращении квадрата со стороной 6 см вокруг прямой, соединяющей середины противоположных сторон, нужно найти объем цилиндрического слоя.

Сначала найдем расстояние от центра квадрата до прямой, соединяющей середины противоположных сторон. По теореме Пифагора получаем, что это расстояние равно:
$$d = \sqrt{6^2 + (6/2)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \, см. $$

Теперь можем найти площадь вращения квадрата вокруг этой прямой. По формуле для объема цилиндрического слоя:
$$ V = \pi \cdot d \cdot S, $$

где $S$ - площадь квадрата. Площадь квадрата равна:
$$S = 6 \cdot 6 = 36 \, см^2. $$

Теперь можем подставить значения в формулу для объема и найти ответ:
$$ V = \pi \cdot 3\sqrt{5} \cdot 36 = 108\pi\sqrt{5} \, см^3. $$

Таким образом, объем тела, полученного при вращении квадрата со стороной 6 см вокруг прямой, соединяющей середины противоположных сторон, равен $108\pi\sqrt{5} \, см^3$.