Поскольку плоскость а перпендикулярна к гипотенузе АВ, то проекции катетов на эту плоскость будут равны соответственно катетам треугольника АВС.

По условию известно, что AC = 10. Также известно, что угол СВА равен 30 градусам. Поскольку угол СВА прямоугольного треугольника, то угол ВAC составляет 60 градусов.

Теперь можем применить тригонометрические функции для нахождения длин катетов:
AC = BC sin(60)
10 = BC sin(60)
BC = 10 / sin(60) ≈ 11.55

Теперь можем найти расстояние от вершины С до плоскости а. Это расстояние равно проекции отрезка СВ на плоскость.
Для этого найдем длину отрезка СВ, который равен гипотенузе треугольника:
AB = √(AC^2 + BC^2) = √(10^2 + 11.55^2) ≈ 15

Теперь найдем проекцию отрезка СВ на плоскость а:
h = AB cos(60) ≈ 15 0.5 = 7.5

Таким образом, длины проекций катетов на плоскость равны 10 и приблизительно 11.55, а расстояние от вершины С до плоскости a составляет 7.5.