а) Поскольку E и F — середины сторон AB и AC соответственно, то EF || BC и EF = 1/2 BC, а также
треугольники AFC и AEB равны (по теореме о сочетании равенств), так как имеют две стороны и угол
при вершине равные, следовательно, AF = AE . Поскольку E и F — середины сторон AB и AC соответственно,
то М находится в произвольной точке на отрезке BC, причем MN = 1/2 BC. Значит, FN = 1/2BN.
Поскольку A не единственная точка касания окружности, треугольник ABC может быть неправильным.
По топологической лемме только точка М может находиться на луче AB. Следовательно, наложим пунктирное исследование сегмента BN.
Поскольку треугольник ABC является правильным, его высота ANDF равна AMNF, следовательно, треугольники AMN и FND сходны.
Так как EM = MF , то они одинаковые.
BN/FN = BM/MN = AM/AN = 2. Так как угол BAF = углу NAC , треугольник BAF и теугольник TUTF остроугольные и сходные.
Аналогично углу BFN = углу NAN , треугольник BCF и треугольник DTF являются остроугольными и сходными.
BN/FN = CF/FD = DT/TF = 2. Следовательно, треугольник DFN является равнобедренным.

б) Площадь треугольника ABC равна S = (20BN/2)sin60° = 5BN^2√3. Площадь треугольника AFC равна S = CFAF/2.
Поскольку AF = AE, треугольники AFC и ABC равны по площади. Площадь треугольника BED равна F/FDS = BN/4S.
Таким образом, S = (20BN/2)sin60°, и BN/4S = 2/π √3.