Для того чтобы доказать, что векторы m, n и p компланарны, необходимо показать, что их линейная комбинация равна нулевому вектору.

Представим векторы m, n и p как линейную комбинацию векторов a, b и c:

m = ka + k²b + 2c
n = 2a - b - c
p = 3a - 4b - 5c

Теперь составим линейную комбинацию векторов m, n и p:

λm + μn + νp = λ(ka + k²b + 2c) + μ(2a - b - c) + ν(3a - 4b - 5c)
= kλa + k²λb + 2λc + 2μa - μb - μc + 3νa - 4νb - 5νc
= (kλ + 2μ + 3ν)a + (k²λ - μ - 4ν)b + (2λ - μ - 5ν)c

Теперь, чтобы линейная комбинация векторов m, n и p была равна нулевому вектору, все коэффициенты при векторах a, b и c должны быть равны нулю:

kλ + 2μ + 3ν = 0
k²λ - μ - 4ν = 0
2λ - μ - 5ν = 0

Теперь найдем значения λ, μ и ν, при которых система уравнений будет иметь решение:

λ = -2, μ = -6, ν = 2

Таким образом, если λ = -2, μ = -6 и ν = 2, то линейная комбинация векторов m, n и p равна нулевому вектору, что означает, что векторы m, n и p компланарны.