Теорема состоит в том, что если к окружности из точки вне неё проведена касательная, то отрезок касательной от точки до точки касания равен радиусу окружности.

Доказательство:

Пусть точка касания касательной и окружности обозначена как точка K, а радиус окружности как r. Проведем радиус окружности из центра O к точке касания K, обозначим точку пересечения его с касательной как точку M.

Так как радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания, то угол OMK прямой.

Также, так как радиус окружности равен радиусу окружности, то OM = r.

Таким образом, треугольник OMK - равнобедренный (ОК = ОМ), и угол ОМК равен углу ОКМ, то есть углу между радиусом и касательной. В итоге, угол между касательной и радиусом окружности равен 90 градусам.

Из теоремы о прямоугольном треугольнике, гипотенуза (ОК) квадрат равна сумме квадратов катетов (ОМ^2 + МK^2). Так как ОК = r и ОМ = r, то r^2 = r^2 + MK^2. Отсюда получаем, что MK = r.

Таким образом, отрезок касательной от точки до точки касания равен радиусу окружности.