Пусть у нас есть два треугольника ABC и A'B'C' с равными сторонами AB = A'B', AC = A'C' и равными углами при вершине A и при основании BC и B'C'.

Докажем равенство данных треугольников.

Угол BAC = B'A'C'
Пусть угол BAC = x, тогда угол B'A'C' = x (по условию), следовательно, углы при вершине A равны.

Пусть BD и B'D' - высоты треугольников ABC и A'B'C'. Так как угол A и A' равны, и уголы при основании BC и B'C' равны, то прямоугольные треугольники ABD и A'B'D' подобны по признаку угла.
Отсюда следует, что AD/BD = A'D'/B'D' и таким образом BD = B'D'.
Но так как углы при основании BC и B'C' равны, то прямые MD и M'D' совпадают (где M - середина BC и M' - середина B'C'). Следовательно, так как BD = B'D' и MD = M'D', то треугольники ABD и A'B'D' равнобедренные.

Таким образом, треугольники ABC и A'B'C' равнобедренные по основанию и прилежащему к нему углу.