Пусть O - центр шара. Так как стороны треугольника касаются шара, то соединяющие точки касания прямые проходят через центр окружности (шара).

Обозначим через r радиус шара. Тогда проведем высоты треугольника ABC из вершин A, B и C на соответствующие стороны. Получим три прямоугольных треугольника, в одном из которых известны катеты 8 и r, а гипотенуза — 10. Составим уравнение Пифагора и найдем r.

r^2 + 8^2 = 10^2
r^2 + 64 = 100
r^2 = 36
r = 6

Теперь найдем расстояние от центра шара до плоскости треугольника ABC. Пусть H — середина отрезка АО. Тогда из прямоугольного треугольника, образованного основанием и высотой пирамиды, найдем значение расстояния OH:

OH^2 = OA^2 - AH^2
OH^2 = r^2 - (AB/2)^2
OH^2 = 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20
OH = sqrt(20) = 2*sqrt(5)

Таким образом, радиус шара r = 6, а расстояние от центра шара до плоскости треугольника ABC равно 2*sqrt(5).