Пусть в треугольнике ABC две высоты, проведенные из вершин A и B, равны. Обозначим эти высоты h1 и h2 соответственно.

Пусть O - центр вписанной окружности, I - центр описанной окружности треугольника ABC.

Так как h1 = h2, то высоты AD и BE, где D и E - основания высот, также равны.

Проведем медиану CM из вершины C треугольника ABC, пересекающую сторону AB в точке M.

Так как AM = MB (так как h1 = h2), то точка M является серединой стороны AB.

Теперь рассмотрим треугольники АМС и ВМС. У них AM = MB, угол AMC = угол BMC = 90 градусов (так как CM - медиана) и угол AMС = угол ВМС (так как углы AMС и ВМС дополнительны друг к другу).

По теореме AA (углы равны, стороны равны), эти треугольники равны.

Из равенства треугольников следует, что точка O лежит на медиане CM (так как O - центр вписанной окружности, проведенной в треугольнике АМC).

Аналогично можно доказать, что центр описанной окружности I тоже лежит на медиане CM или ее продолжении.

Таким образом, если в треугольнике две высоты равны, то центр вписанной и описанной окружностей лежат на одной из этих высот или их продолжениях.