Для решения этой задачи воспользуемся геометрическими соотношениями для конуса.

Из условия задачи известно, что образующая конуса равна 12 см и угол между образующей и основанием конуса составляет 60 градусов.

Вычислим радиус основания конуса. Образующая представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, а основание конуса является его проекцией на основание. Таким образом, радиус основания конуса можно найти из равенства:
r = 12 sin(60) = 12 √3 / 2 = 6√3 см

Вычислим высоту конуса. Для этого воспользуемся тем же прямоугольным треугольником:
h = 12 cos(60) = 12 1 / 2 = 6 см

Наконец, найдем площадь поверхности конуса. Сначала найдем площадь боковой поверхности конуса:
Sб = π r l,
где l - образующая конуса.
Sб = π 6√3 12 = 72π√3 см^2

Затем найдем площадь основания конуса:
Sосн = π r^2 = π (6√3)^2 = 36π*3 = 108π см^2

Таким образом, общая площадь поверхности конуса:
S = Sб + Sосн = 72π√3 + 108π = 180π + 72π√3 см^2

Итак, высота конуса равна 6 см, площадь его поверхности составляет 180π + 72π√3 квадратных сантиметра.