Пусть r радиус окружности, вписанной в прямо- угольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Докажите, что r = 1/2*(a + b − c).
Пусть r радиус окружности, вписанной в прямо- угольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Докажите, что r = 1/2*(a + b − c).
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для начала найдем площадь треугольника двумя способами.
Площадь треугольника равна половине произведения катетов: S = 1/2 a b.
Площадь треугольника равна половине произведения катета на гипотенузу: S = 1/2 a c.
Таким образом, S = 1/2 a b = 1/2 a c.
Также площадь треугольника равна половине произведения гипотенузы на радиус вписанной окружности: S = 1/2 c r.
Из двух полученных равенств следует, что: 1/2 a c = 1/2 c r.
Упростим это равенство: a = r.
Аналогично, из площадей S = 1/2 b c и S=1/2 b r следует, что b = r.
Теперь, зная, что радиус равен катетам, подставим это в формулу r = 1/2(a + b − c): r = 1/2(r + r − c) = r.
Таким образом, доказано, что r = 1/2*(a + b − c).