Для нахождения расстояния точки Е от плоскости АВС можно использовать формулу для расстояния от точки до плоскости.

Первым шагом найдем уравнение плоскости АВС. Так как стороны квадрата параллельны осям координат, то можно представить плоскость в виде уравнения вида Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D - неизвестные коэффициенты.

Известно, что периметр квадрата равен 16√3. Так как стороны квадрата параллельны координатным осям, то сторона квадрата равна 4√3. Это означает, что точки А(0,0), B(4√3,0), C(4√3,4√3), D(0,4√3).

Теперь можем составить уравнение плоскости по трем точкам. Подставим координаты точек в уравнение плоскости и найдем коэффициенты A, B, C и D.

Уравнение плоскости: Ax + By + C*z + D = 0
Вектор нормали к плоскости: N{(4√3 - 0), (4√3 - 0), (0 - 0)} = {4√3, 4√3, 0}

Таким образом, уравнение плоскости: 4√3x + 4√3y + D = 0

Далее найдем расстояние от точки E до плоскости АВС.

Координаты точки E равны (4,4). Подставим их в уравнение плоскости:

4√34 + 4√34 + D = 0
16√3 + 16√3 + D = 0
32√3 + D = 0
D = -32√3

Теперь можем найти расстояние от точки E до плоскости АВС, используя формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости:

d = |Ax0 + By0 + C*z0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)

где (x0, y0, z0) - координаты точки E, A, B, C - коэффициенты уравнения плоскости

Подставляя значения, получаем:

d = |4√34 + 4√34 - 32√3| / √(4√3^2 + 4√3^2)
d = |64√3 - 32√3| / √(48)
d = |32√3| / 4√3
d = 8

Таким образом, расстояние точки E от плоскости АВС равно 8 см.