Пусть прямоугольная трапеция ABCD описана около окружности радиуса R с центром O.

Заметим, что прямоугольная трапеция можно разрезать на два прямоугольных треугольника AOB и COD, таким образом, получив вершину O. Также заметим, что треугольники AOB и COD являются подобными, так как каждый из них прямоугольный, а углы при основаниях трапеции одинаковые.

Теперь, площадь трапеции ABCD равна сумме площадей треугольников AOB и COD:

S(trapezoid) = S(AOB) + S(COD)

S(AOB) = (1/2) AB AO
S(COD) = (1/2) DC DO

Так как треугольники AOB и COD подобны, то AB/AO = DC/DO = 2R/R = 2.

Отсюда получаем, что AB = 2AO и DC = 2DO.

Подставляем полученные выражения в формулу для площади трапеции:

S(trapezoid) = (1/2) 2AO AO + (1/2) 2DO DO
S(trapezoid) = AO^2 + DO^2

Так как ABCD - прямоугольная трапеция, то DO = AO, из чего следует:

S(trapezoid) = AO^2 + AO^2 = 2AO^2 = 2 * R^2

Одновременно из площади трапеции и произведения ее оснований:

S(trapezoid) = (AB + CD) / 2 AD = 2AO AD = 2R * AD

Отсюда AD = R

Таким образом, S(trapezoid) = 2R AD = 2R R = 2R^2

Следовательно, площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению ее оснований.