Обозначим точки, в которые опущены перпендикуляры, как A и B, а точку пересечения этих перпендикуляров с ребром двугранного угла, как C.

Так как у нас имеется правильный двугранный угол, в котором угол между гранями равен 120 градусам, значит, угол между плоскостью грани и ребром равен 60 градусам.

Также из условия задачи известно, что длина перпендикуляра, опущенного на грань, равна 36 дм. Поскольку угол между плоскостью грани и ребром равен 60 градусам, то треугольник OAB является прямоугольным, где OA = OB = 36 дм.

Теперь найдем расстояние от точки O до ребра двугранного угла.

Для этого воспользуемся тригонометрическими функциями. Так как угол между плоскостью грани и ребром равен 60 градусам, а у нас есть прямоугольный треугольник OAB, где OA = OB и угол AOB равен 60 градусам, то углы A и B прямоугольного треугольника OAB равны 15 градусам.

Теперь можем найти расстояние OC от точки O до ребра двугранного угла:

cos 15° = OC / OB
cos 15° = OC / 36
OC = 36 * cos 15°
OC ≈ 34.88 дм

Таким образом, расстояние от точки O до ребра двугранного угла составляет примерно 34.88 дм.