Пусть длина гипотенузы равна (c), а радиус окружности равен (r).

Так как гипотенуза проходит через середины гипотенузы и меньшего катета, то длина этой гипотенузы равна (\frac{c}{2}). Также, гипотенуза в то же время является диаметром окружности, проходящей через середины сторон треугольника, значит (2r = \frac{c}{2}).

По теореме Пифагора:
[3^2 + 4^2 = c^2]
[c^2 = 25]
[c = 5]

Таким образом, радиус окружности равен (r = \frac{c}{4} = \frac{5}{4}).

Пусть точка касания окружности с другим катетом называется (A), а точка касания хорды с гипотенузой называется (B).

Так как треугольник (ACB) прямоугольный, то можно применить теорему о правильных треугольниках и найти длину хорды (AB):
[AB = 2r = 2 \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{2}]

Таким образом, длина хорды этой окружности, высекаемой на гипотенузе, равна (\frac{5}{2}).