Пусть точки M и N делят отрезок BC и AD пополам, т.е. AM = MD и BN = NC.
Обозначим через O центр окружности, вписанной в трапеции AMND.
Так как отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, параллельен базам, то AMND – равнобедренная трапеция.
Так как AM = MD и BN = NC, то M и N – это середины отрезков AD и BC соответственно.
Из того, что O – центр окружности, вписанной в трапецию AMND, следует, что OM = ON.
Заметим, что O также является серединой отрезка MN. Таким образом, треугольник MON – равнобедренный.
Из равнобедренности треугольника MON и равенства отрезков MA = MD и BN = NC следует, что треугольник AOC равен треугольнику BOD.
Теперь можем утверждать, что трапеция ABCD является равнобедренной.